Vorlesung: Mi, 8:00 - 9:30 in PK 14.7 und Fr, 8:00 - 9:30 in PK 14.7
Übung: Mi, 16:45 - 18:15 in PK 14.7
Prüfung Master-Studierende:
Prüfungsvorleistung Master-Studierende: erfolgreiche Bearbeitung der Hausaufgaben (inklusive Programmieraufgaben)
Prüfung Master-Studierende: mündliche Prüfung nach Vereinbarung (Anmeldung wie üblich im Dekanat, Terminabsprache bei Prof. Bollhöfer)
Scheinerwerb Diplom-Studierende:
erfolgreiche Bearbeitung der Hausaufgaben (inklusive Programmieraufgaben)
Zahlreiche Vorgänge oder Zustände, die man in der Physik, Chemie oder Biologie beobachten kann, lassen sich durch Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen beschreiben, welche auf Grund von einschlägigen Naturgesetzen bestimmten partiellen Differentialgleichungen genügen müssen. Ziel dieser Vorlesung ist es, einen Einblick in gängige numerische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen zu vermitteln, die in naturwissenschaftlichen und technischen Problemen eine zentrale Rolle spielen. Die Vielfalt der in den Anwendungen auftretenden partiellen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme ist sehr groß und ihre sachgemäße numerische Behandlung erfordert im allgemeinen sehr spezielle Methoden, so daß in dieser Vorlesung nur eine eingeschränkte Auswahl einfacher Probleme betrachtet werden kann, an denen aber grundsätzliche Vorgehensweisen gut erkennbar werden.
Wir betrachten elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen. Während die erst genannten aus physikalischer Sicht betrachtet Gleichgewichtszustände, also zeitunabhängige Probleme beschreiben, modellieren hyperbolische Gleichungen Ausbreitungsvorgänge, wie instationäre Strömungen, Wellen, Schwingungen usw. Mit parabolischen Gleichungen lassen sich Diffusions- und Wärmeleitvorgänge darstellen. Wir betrachten die wohl mit Abstand verbreitetsten Methoden zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen: die Methode der finiten Differenzen (FDM) und die Methode der finiten Elemente (FEM). Eine wichtige Teilaufgabe bei diesen Verfahren besteht im Lösen sehr großer dünnbesetzter Gleichungssysteme. Daher skizzieren wir hier auch direkte und iterative Verfahren zur Lösung solcher linearer Systeme.
Für diese Vorlesung werden Kenntnisse aus Einführung in die Numerik, Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, einer höheren Programmiersprache und MATLAB vorausgesetzt sowie Grundkenntnisse in der linearen Algebra und Analysis, wie sie in den ersten Semestern vermittelt werden. Kenntnisse über Funktionalanalysis und die Theorie partieller Differentialgleichungen sind wünschenswert, aber nicht unbedingt erforderlich. Falls die Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen nicht gehört worden ist, so können die hier benötigten Techniken in Eigenarbeit nachgearbeitet werden.
Leider läßt sich kein einzelnes Buch angeben, das den Themenkreis der Vorlesung in einem für unsere Zwecke angemessenen Gleichgewicht zwischen Ausführlichkeit und Überblicksbeschreibung behandelt. Eine Liste von zu empfehlenden Büchern: