Einführung in die Numerische Lineare Algebra

Einführung in die Numerische Lineare Algebra

Vorlesung: Dienstag, 11:30 - 13:00 in SN 19.3

Übung: Freitag, 8:45-9:30 in SN 19.3

Für gewöhnlich werden die folgenden Probleme als die Standardprobleme der numerischen linearen Algebra betrachtet:

$ \lambda$
$ \lambda$
  • Lineare Gleichungssysteme: Löse Ax=b. Dabei ist A eine vorgegebene nichtsinguläre n-x-n Matrix , b ein Vektor der Länge n und x der Vektor, dessen Komponenten wir berechnen wollen.
  • Lineare Ausgleichsprobleme: Berechne einen Vektor x, der || Ax - b||2 minimiert, wobei A eine n-x-n Matrix, b ein gegebener Vektor der Länge m und x ein Vektor der Länge n ist. Dabei bezeichnet || y||2 die 2-Norm eines Vektors y. Wenn m > n ist, haben wir mehr Gleichungen als Unbekannte. Das resultierende System ist überbestimmt. Im Fall m < n ist das System unterbestimmt und es gibt unendlich viele Lösungen, wenn nicht zusätzliche Bedingungen gestellt werden.
  • Eigenwertprobleme: Gegeben sei eine n-x-n Matrix A. Finde einen Vektor x der Länge n und einen Skalar , so dass Ax = x.

Diese Standardprobleme tauchen in vielen ingenieur-, wirtschafts- und sozialwissenschaftlichen, biotechnologischen und theoretischen Problemen auf. Sie stehen im Zentrum der meisten Algorithmen des wissenschaftlichen Rechnens und es existieren bereits viele gut verstandene Algorithmen, um sie zu lösen. Hier werden wir uns mit den Grundlagen für diese Algorithmen beschäftigen und ihre praktische Anwendbarkeit austesten. Dazu wird in den Übungen intensiv das Softwarepaket MATLAB (eingetragenes Warenzeichen von The Mathworks) verwenden, welches state-of-the-art Routinen zur Lösung der häufigsten Probleme, die in der numerischen linearen Algebra auftauchen, in benutzerfreundlicher Weise zur Verfügung stellt.