Gliederung

Weg, Kurve
Beispiel: Kreis
geschlossener Weg, Doppelpunkte
Beispiel: Schraubenlinie Folie.pdf
geschlossener Weg Folie.pdf
differenzierbarer Weg
Tangentenvektor
Bogenlänge
Beispiel: Kettenlinie Folie.pdf
Parametertransformation
Beispiel
Orientierung
Kurven im R^2

Kurven im R^3

Vektorfeld Folie.pdf
Beispiel
Skalarfeld Folie.pdf
Beispiel
Potential, Potentialfeld
Beispiel
Kurvenintegral eines Skalarfelds über eine Kurve
Beispiel
Kurvenintegral eines Vektorfelds über eine Kurve
Beispiel
Notwendige Bedingung für Existenz eines Potentials: Integrabilitätsbedingung
Hinreichende Bedingung: einfach zusmamenhängendes Gebiet Folie.pdf
Beispiele
Berechnung von Potentialen
Beispiel

Definition: Parameterdarstellung Folie.pdf
Beispiel
Tangentialebene, Tangentenebene Folie.pdf
Normalenvektor/Flächennormale
Beispiel
Parametertransformation von Flächen
Beispiel
äquivalente Parameterdarstellungen, OrientierungFolie.pdf
Flächeninhalt eines Flächenstücks
Beispiel: Kegelfläche
Flächenintegrale erster und zweiter Art
Interpretation
Beispiele

Gaußscher Integralsatz
Motivation: Überschuss = herausfliessendes - hineinfliessendes Folie.pdf
Divergenz von V
Formel zur Berechnung der Divergenz
Beispiel
Quelle, Senke, quellenfrei
Beweisidee zur div V = V_{1x} + V_{[2y} + V_{3z}
Gaußscher Integralsatz für Quader
Gaußscher Integralsatz für Quaderzerlegbare Bereiche Folie.pdf
Gaußscher Integralsatz für Bereiche mit stückweise glattem Rand
physikalische Interpretation: der Überschuß des ausströmenden Flüssigkeitsvolumens gleicht dem, was die Quellen insgesamt liefern.
Beispiel
Gaußscher Integralsatz in der Ebene
Greensche Integralsatz in der Ebene
Beispiel
Stokesscher Integralsatz
Motivation: Zirkulation - Wirbelstärke Folie.pdf
Formel zur Berechnung der Wirbelstärke
physikalische Interpretation
Stokesscher Integralsatz Folie.pdf
Nabla-, Laplace-Operator Folie.pdf
Dopplete Anwendung von div, rot, grad / Anwendung von div, rot, grad auf Produkte Folie.pdf
alles in Nabla-Schreibweise Folie.pdf
Gaußscher Integralsatz in div, grad, rot-Form Folie.pdf
Stokesscher Integralsatz in rot, grad, Nabla-Form Folie.pdf
partielle Integration Folie.pdf
Erste Greenscher Integralformel
Zweite Greensche Integralformel
Krummlinige orthogonale Koordinaten
Beispiel: Zylinderkoordinaten Folie.pdf
Koordinatenlinien
orthogonales Rechtssystem
Beispiel: für ein Vektorfeld berechne man die Koordinaten entlang der Zylinderkoordinatenlinien
grad und Laplace in krummlinigen Koordinaten
Wirbel- und quellfreies Vektorfeld --> Laplace-Gleichung
quellfreies Vektorfeld - Vektorpotential
Beispiel

Die komplexe Zahlenebene
Polardarstellung
Additon, Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen, Wurzel einer komplexen Zahl
Beispiele komplexer Funktionen
Komplexe Differentiation
Beispiele
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
Beispiele
analytische (holomorphe) Funktionen
Cauchy-Riemann-DGL
Beispiele
Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen sind Lösungen der Laplace-Gleichung
harmonische Funktion
gegeben u, finde v so dass f = u + i v analytisch ist
Beispiel
physikalische Interpretation
Beispiel z^2 Folie.pdf
Beispiel Diploströmung Folie.pdf
Beispiel Kreisumströmung mit Zirkulation Folie.pdf
Komplexe Integration
Beispiel
Rechenregeln
Beispiel: Integration über eine geschlossene Kurve
Cauchy-Integralsatz Folie.pdf
Wegunabhängigkeit
Stammfunktion
Beispiele
geschlitzte Gebiete
Singularität
Beispiel: Integral über geschlossene Kurve, die eine Singularität einschliesst
Residuum
Residuensatz
Berechnung des Residuums falls Singularität einfacher Pol
Beispiele
Berechnung des Residuums falls Singularität mehrfacher Pol
Beispiele
Berechnung uneigentlicher Integrale von rationalen Funktionen
Beispiele
Berechnung von Integralen von r(cos(x),sin(x)), wobei r rationale Funktion
Beispiele

f(x,y) = 0 definiert implizit Funktion y
Beispiel
Bedingung, dafür dass die implizit definierte Funktion eindeutig ist
Berechnung der ersten Ableitung der implizit gegebenen Funktion
Beispiele
weitere Ableitungen einer implizit definierten Funktion
lokales Maximum/Minimum einer implizit definierten Funktion
Beispiel
F: R^n -> R^m definiert implizit m Funktionen
Beispiel
Bedingung für Eindeutigkeit: m linear unabhängige Spalten von J_F
Beispiel
regulärer /singulärer Punkt
Beispiele
UmkehrFunktion
Beispiele
Bedingung für Existenz einer Umkehrfunktion

Beispiel: Biegebalken Folie.pdf
allgemeine Randwertprobleme 2.ter Ordnung
Beispiel: Knickstab Folie.pdf
Lösung abhängig von Parameter!

Was ist eine PDE?
Ordnung einer PDE
Beispiel lineare PDE 1. Ordnung, Subsitution
Beispiel lineare PDE 2. Ordnung, Substitution
mögliche Nebenbedingungen bei PDEs: Anfangsbedingungen, Cauchy-Bedingung, Neumann-Bedingung, Rand-Anfangswertproblem

Wärmegleichung
physikalische Vorstellung
Lösungsansatz: Separation der Variablen
führt auf 2 gewöhnliche DGL
Randwertproblem
allgemeine Lösung der Wärmegleichung
Beispiel: alles ok, wenn Anfangstemperaturverteilung als Summe von Sinusschwingungen gegeben
was, wenn nicht?
Fourier-Reihe
Beispiel
Konvergenz der Fourier-Reihe
gerade/ungerade Funktionen und ihre Eigenschaften
Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist eine Kosinusreihe, die einer ungeraden Funktion eine Sinusreihe
Jede Funktion f, die gewisse Bedingungen erfüllt, kann als reine Kosinusreihe dargestellt werden
Beispiel
Jede Funktion f, die gewisse Bedingungen erfüllt, kann als reine Sinusreihe dargestellt werden
Beispiel
zurück zur Wärmegleichung
Darstellung der allgemeinen Lösung
Interpretation der Lösung
Die Wellengleichung
physikalische Vorstellung
Lösungsansatz: Separation der Variablen
führt auf 2 gewöhnliche DGL
Randbedingungen verwenden
Randwertproblem
Anfangsbedingung verwenden
Sinusreihenentwicklung
allgemeine Lösung der Wellengleichung
Die Laplacesche Gleichung/Potentialgleichung
Dirichlet-Problem
dasselbe Vorgehen zur Berechung der Lösung: Separation der Variablen, 3 Randbedingungen verwenden, führt auf zwei gewöhnliche DGL, eines davon ein Randwertproblem, lösen, 4. Randbedingung verwenden, Sinusreihenentwicklung
Neumann-Problem
Lösung wird wie vorher berechnet

lineare PDE 1. Ordnung
Struktur der Lösung
homogene/inhomogene PDE
Rumpf-DGL
Idee zur Lösung: setze Lösung aus Höhenlinien zusammen
führt auf charakteristisches DGL-System
Charakteristiken
autonome DGL
Beispiel Folie.pdf
Phasenbahn, Trajektorie, Phasenportrait Folie.pdf
erstes Integral
allgemeines Vorgehen zur Lösung
Beispiel Folie1.pdf , Folie2.pdf , Folie3.pdf , Folie4.pdf
Beispiel
Cauchy-Bedingung, um eine eindeutige Lösung zu erhalten
Beispiel
allgemeines Vorgehen
Beispiel
wie erhält man Lösung der Rumpf-DGL aus Lösung der PDE?
Beispiel
quasilineare PDE erster Ordnung
Lösungsansatz über Charakteristiken
Beispiel
Beispiel: Transportgleichung, Schock

Beispiel: Brachistochrone-Problem
Funktional
allgemeine Aufgabenstellung: Variationsproblem, F hängt von 3 Variablen ab
notwendige Bedingung für Lösung: Euler-Lagrange-Gleichung
Extremale
weiter im Beispiel: Berechnung der Lösung über Euler-Lagrange-Gleichung
Allgemeines Vorgehen zur Bestimmung der Extremalen
Beispiel
allgemeine Aufgabenstellung: Variationsproblem, F hängt von n Variablen ab
notwendige Bedingung für Lösung: Euler-Lagrange-Gleichung
Beispiel
Beispiel
in der Praxis nicht Lösung des Variationsproblem über die Euler-Lagrange-Gleichung, sondern umgekehrt
Zusammenhang lineare ODE - Variationsproblem
Beispiel
Zusammenhang PDE - Variationsproblem
Beispiele
Lösung des Variationsproblems mittels Ritz-Verfahren
Beispiel

allgemeine form
Diskriminante der PDE
parabolische/hyperbolische/elliptische PDE
Beispiel: Wärmegleichung
Beispiel: Wellengleichung
Beispiel: Potentialgleichung
Beispiel: Tricomi-Gleichung
charakteristische DGL
Charakteristiken
löse charakteristische DGL
Fallunterscheidung: parabolischer Fall
Lösung
Normalform
Beispiel
Fallunterscheidung: hyperbolischer Fall
Lösung
Normalform
Beispiel
Fallunterscheidung: elliptischer Fall
Lösung
Normalform
Beispiel

uneigentliche Integrale
Beispiel
Cauchy-Hauptwert
Beispiel
Fourier-Transformation, Zeit-, Frequenzbereich
Beispiel: abfallender Impuls
Beispiel: Rechteckimpuls
inverse Fourier-Transformation
Rechenregeln
Linearität
Konjugation
Streckung
Beispiel
Verschiebung im Zeitbereich
Beispiel
Verschiebung im Frequenzbereich
Symmetrien
Differentiation im Zeitbereich
Beispiele
Differentiation im Frequenzbereich
Beispiel
Faltung
Beispiele
Fourier-Transformation zur Lösung von PDEs
Beispiel: Wärmegleichung
Beispiel: Potentialgleichung