Hier finden Sie die Gliederung der Vorlesung. Die einzelnen behandelten Themen werden immer nach einer jeweiligen Vorlesungsstunde aktualisiert. Bitte haben Sie dafür Verständnis, wenn sich die Aktualisierung manchmal um wenige Tage verzögert.
Einführung Organisatorisches
Einführendes Beispiel
Ziele der Veranstaltung
Analysis Kapitel 1: Reelle und komplexe Zahlen Bezeichungen
Rechenregelen
Ungleichungen
Lineare Algebra Kapitel 1: Vektorrechnung Vektoren
Addition von Vektoren
Skalares Vielfaches eines Vektors
Länge eines Vektors
Normeigenschaften
Winkel zwischen zwei Vektoren
Skalarprodukt
Eigenschaften des Skalarprodukts
Skalarprodukt ausgedrückt durch die Komponenten der Vektoren
Satz des Thales
Cosinussatz
orthogonale Zerlegung eines Vektors
Satz von Pythagoras
Parallelogrammgleichung
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Vektorprodukt
Rechtssystem
rechte Hand Regel
Rechenregelen des Vektorprodukts
Vektorprodukt ausgedrückt durch die Komponenten der Vektoren
Analysis: Kapitel 1, weiter Intervalle offen/abgeschlossen/halboffen
Beispiel: alle x für die (x-2)/(2x+3) <5
Potenzen mit natürlichen Exponenten
n-te Wurzeln
Absolutbetrag
Beispiel: alle x für die |x-2|/|2x+3| <5
Binomische Formeln
komplexe Zahlen
Grundrechenarten, Potenzen komplexer Zahlen
Konjugation
Betrag einer komplexen Zahl
Beispiel: quadratische Gleichung
komplexe Wurzel
Analysis: Kapitel 2: Funktionen
Grundbegriffe Funktion, Definitionsberecih, Bildbereich
Potenzfunktion
graphische Darstekkung
gerade/ungerade Funktion
(streng) monoton wachsende/fallende Funktion
Rechnen mit Funktionen
Komposition zweier Funktionen
Polynome und rationale Funktionen Polynome
Gleichheit zweier Ploynome
Addition zweier Polynome
Horner-Schema
Lineare Algebra: Kapitel 1, weiter Vektorprodukt mitels Regel von Sarrus
Spatprodukt
Lineare Algebra, Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme
Beispiel
Definition: Lineares Gleichungsystem
Schreibweisen: Ax=b, Matrizen
Matrix-Vektormultiplikation
Matrixaddition
Matrix-Matrix-Multiplikation
Matrix-Matrix-Multiplikation ist nicht kommutativ!
Beispiel: einfach zu lösendes Gleichungssystem (Gleichungssystem mit oberer Dreiecksmatrix)
Rückwärtseinsetzen
elementare Zeilenumformungen
prinzipielles Vorgehen vom Gauß-Verfahren
Beispiel: Matrix mit a_{11} = 0, Zeilen vertauschen
Beispiel: Matrix mit a_{k1} = 0 für alle k, Spalten vertauschen (Unbekannte umnummerieren!)
allgemeines Vorgehen
Lösbarkeitsentscheidung
Beispiel: nicht lösbares Gleichungssystem
Beispiel: Gleichungssystem mit frei wählbaren Unbekannten
allgemeine Lösung -- spezielle Lösung
Analysis: Kapitel 2, weiter Horner-Schema
Nullstelle einer Funktion
Beispiel
Ist b Nullstelle eines Polynoms f, dann f(x) = (x-b)h(x)
rationale Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten
Beispiel
l-fache Nullstelle, Vielfachheit
Ein Polynom mit reellen Koeffizienten kann komplexe Nullstellen haben
Beispiel
Fundamentalsatz der Algebra
rationale Funktionen
Polynomdivision
Definitionsbereich einer rationalen Funktion
Pol einer rationalen Funktion
Definition cos, sin
Eigenschaften von cos, sin
Additionstheorem
Definition tan, cot
Eigenschaften von tan, cot
Polardarstellung komplexer Zahlen
Umrechungsformel kartesische Darstellung - Polardarstellung
Beispiel
einige wichtige Werte von cos, sin
Formeln von De Moivre
Multiplikation, Division und n-te Wurzeln komplexer Zahlen in Polardarstellung
Einheitswurzeln
Lineare Algebra: Kapitel 2, weiter homogenes Gleichungssystem Ax = 0
freie / abhängige Variablen
allgemeine / spezielle Lösung
Beispiel
Rang
A x = 0 hat genau dann nur x = 0 als Lösung, wenn Rang A = n.
Die allgemeine Lösung von Ax = 0 hat n - Rang A freie Variablen.
Hat man mehr Unbekannte als Gleichungen, dann besitzt Ax = 0 von Null verschiedene Lösungen.
inhomogenes Gleichungssystem Ax = b
Lösbarkeitsentscheidung
Ax = b ist lösbar genau dann, wenn Rang (A,b) = Rang (A)
Ist Ax = b lösbar, dann lässt sich die allgemeine Lösung als Summe einer speziellen Lösung von Ax = b und der allgemeinen Lösung von Ax = 0 schreiben.
Ist Ax = b lösbar, dann hat die allgemeien Lösung n - Rang A freie Variablen.
Kern A
Lineare Algebra: Kapitel 3: Vektorräume Definition Vektorraum
Beispiele
Definition Unterraum
Beispiele
Linearkombination
Spann, lineare Hülle
Beispiel
Lineare (Un-)Abhängigkeit
Beispiel
Basis
Dimension eines Vektorraums
Beispiel
Zeilenraum, Spaltenraum einer Matrix
Rang A = dim Zeilenraum A = Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen in A
dim Spaltenraum A = dim Zeilenaraum A
Dimensionsformel: dim Kern A + Rang A = n für eine m-x-n Matrix A
Analysis: Kapitel 2, weiter Nullfolge
Beispiele
Konvergenz einer Zahlenfolge gegen eine Zahl a
Divergenz
Beispiele
Funktionengrenzwerte
rechtsseitiger / linksseitiger Grenzwert
Beispiele
Rechenregeln
Beispiele
Nachtrag Beispiel Eisblume: Flächeninhalt
Stetigkeit -anschaulich
Bisektionsverfahren zur Nullstellensuche
Beispiel
Stetigkeit formal
Beispiele
Rechenregeln
Polynome sind stetig
Satz vom Minimum und Maximum
Zwischenwertsatz
Analysis: Kapitel 3: Differentiation
Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x
Beispiele
geometrische Deutung: Tangentenanstieg
analytische Deutung: lineare Approximation
physikalische Deutung: Geschwindigkeit
Differentiationsregeln
Beispiele
Diskussion offener Fragen
Lineare Algebra: Kapitel 3: weiter Unterräume des R^2, R^3: flache Oberflächen durch den Ursprung
Beispiele: welche Räume werden durch die gegebenen Vektoren aufgespannt?
Besipiel: Spaltenraum, Zeilenraum, Kern einer Matrix A
Transponierte einer Matrix A
Beispiele zur Basis
ein n-dimensionaler Raum hat mehr als eine Basis
Basismatrix, Koordinatenvektor
Basistransformation
Eine Basis ist nicht eindeutig
Basiswechsel
Übergangsmatrix
Inverse der Übergangsmatrix
Inverse einer Matrix
Berechnung einer Inverse mittels Gauss
Lineare Algebra Kapitel 4: Determinanten
Beispiel: Volumenverzerrung bei Basiswechsel
Determinante einer 2x2 Matrix, Rechenregel
Determinante einer 3x3 Matrix, Rechenregel
Determinante einer n-x-n Matrix, Rechenregel
Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
Analysis: Kapitel 3: weiter
Beispiel: Aus Stetigkeit folgt nicht Differenzierbarkeit
Jede differenzierbare Funktion ist stetig
Kettenregel
Beispiele
höhere Ableitungen
Extremwerte: globales/lokales Maximum/Minimum
Ist x lokales Extremum von f, dann f'(x) = 0
Beispiele
Liste der Kandidaten für Extremstellen
Beispiel
Zusammenhang f' und (streng) monoton fallend/wachsend
Extremwerttest über Verhalten von f'
Beispiel
Extremwerttest über f''
Beispiel
Lineare Algebra: Kapitel 4: weiter
Determinaten, Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix
Rechenregeln für Determinanten
Beispiele
Multiplikationssatz für Deetrminanten
Invertierbarkeitstest
Beispiele
Entwicklung einer Determinante nach der jten Spalte
Beispiel
Erzeuge erst möglichst viele Nullen in A, berechne dann erst die Determinante
Beispiel
Cramersche Regel
Beispiel
Formel für die Inverse einer Matrix
Beispiel
Lineare Algebra Kapitel 5: Lineare Abbildungen Definition einer linearen Abbildung f (f ist homogen und additiv)
Eigenschaften linearer Abbildungen
Abbildungsmatrix F
Beispiele
|det F| = Volumenverzerrungsfaktor der Abbildung f
Wiederholung: Skalarprodukt, Rechenregeln
orthogonale Vektoren
orthogonale lineare Abbildungen
orthogonale Matrix
orthogonale/orthonormale Basis
Zusammenhang zwischen den Orthogonalitätsbegriffen
Determinante einer orthogonalen Matrix
Orthogonale lineare Abbildungen sind volumentreu, längentreu und winkeltreu
Analysis: Kapitel 3: weiter
Beispiel zur Wiederholung
Wendepunkte
Links-/Rechtskrümmung
Wendepunkt-Test
Regel von L'Hospital
Beispiele
Kurvendiskussion
Umkehrfunktionen und ihre Ableitung
Beispiele
Definition
Beispiele
Existenz der Umkehrfunktion
Graph der Umkehrfunktion
Ableitung der Umkehrfunktion
Beispiele
Exponential- und Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion zur Basis a
Analysis: Kapitel 4: Integration Zwischen-, Unter- und Obersummen
Integral = Grenzwert der Ziwschensummen
Integral = Flächeninhalt
Beispiele
Rechenregeln
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Stammfunktion
Vorgehen zur Bestimmung des bestimmten Integrals
Beispiele
unbestimmtes Integral
Beispiel
Partielle Integration
Beispiele
Substitutionsregel
Lineare Algebra Kapitel 5: weiter Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis B
ähnliche Matrizen
Lineare Algebra Kapitel 6: Eigenwertproblem Eigenwert, Eigenvektor einer Matrix
Beispiele
Eigenwerte = Nullstellen des charakteristischen Polynoms
algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts
Eigenraum zum Eigenwert l = Kern(A-l I)
geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts
Beispiele
Eigenwerte/Eigenvektoren einer 2x2 Matrix - alle möglichen Fälle
Eigenwerte von oberen Dreiecksmatrizen
Spur einer Matrix
Zusammenhang charakteristisches Polynom - Spur und Determinate
Zusammenhang Spur und Determinate - Eigenwerte und deren algebraische Vielfachheiten
Beispiel
A und A^T haben dieselben Eigenwerte, aber i.a. nicht dieselben Eigenräume
Beispiel
Ähnliche Matrizen A und C = B^{-1}ABhaben dieselben Eigenwerte, die Eigenvektoren von C lassen sich aus denen von A berechnen
Beispiel
Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig
Diagonalisierung einer Matrix
Beispiel
Diagonalisierung nicht immer möglich!
Beispiel
Analysis Kapitel 4: weiter Anwendung der Substitutionsregel
Beispiele
Integration rationaler Funktionen
Erinnere: rationale Funktionen, Polynomdivision
Partialbruchzerlegung
Intgegrale über die verschiedenen Partialbrüche
Beispiele
Beispiele zur Integration
Lineare Algebra Kapitel 6: weiter Beispiel: Räuber-Beute-Model
Lösung von u' = Au, u(0) = c mittels Eigenwerte/Eigenvektoren von A
symmetrische Matrizen
Eigenschaften reeller Matrizen: reelle Eigenwerte, diagonalisierbar mittels orthogonaler Transformation
Beispiel
Berechnung der orthogonalen Transformationsmatrix
Beispiele
Schmidsches Orthogonalisierungsverfahren
Beispiel
Polynom 2.ten Grades
Quadrik/Hyperfläche zweiten Grades
Beispiele
Hauptachsentransformation
Normalform einer Quadrik
Beispiel
geometrische Anschauung